ফাংশন | ক্যালকুলাস

ফাংশন কি?

তুমি নিজেই একটা ফাংশন। ফাংশনে কিছু ইনপুট দিলে সেখান থেকে কিছু আউটপুট পাওয়া যায়। তুমি ইনপুট হিসেবে নাও খাবার আর আউটপুট কি দাও সেটা তো জানই। তাহলে ফাংশন কিছু ইনপুট নেয় এবং ইনপুট প্রক্রিয়াযাত করে আউটপুট দেয়। ব্লেন্ডারের সাথে পরিচয় আছে আশা করি। আমাদের মাতা জাতি জুস তৈরির জন্য এটি ব্যবহার করে। এটাও ফাংশনের মত। ফল(ইনপুট) দিলে ব্লেন্ডার(ফাংশন) সেগুলো জুস (আউটপুট) বানিয়ে দেয়।

এবার একটু গণিতে ভাষায় আসি।

ধর,  হল একটি ফাংশনের ইনপুট। ফাংশনটি সবসময়  কে বর্গ করে অর্থাত । ধরি, বর্গ করলে সেটি  হয়। তাহলে  হল আউটপুট। এটাকে নিচের মত করে লেখা হয়।

এখানে ইচ্ছেমত ইনপুট দিতে পারি। যেমন 4, 1, -5, 0 এগুলো ইনপুট দিলে আউটপুট আসবে যথাক্রমে 16, 1, 25, 0

ভাব দেখানোর জন্য গনিতবিদরা ইনপুট গুলোকে বলে ডোমেইন আর আউটপুট গুলোকে বলে রেঞ্জ। আচ্ছা উপরের ফাংশনের ডোমেইন কি কি হতে পারে?

দেখতেই পারছ ইনপুট ধনাত্বক সংখ্যাও দেয়া যায়, শুন্যও দেয়া যায় আবার ঋনাত্বক সংখ্যাও দেয়া যায়। তার মানে সব বাস্তব সংখ্যা হল উপরের ফাংশনের ইনপুট। তাই এর ডোমেইন হল সব বাস্তব সংখ্যা। (বাস্তব সংখ্যা হল সেগুলো যেগুলো অবাস্তব নয়। অবাস্তব সংখ্যাও আসবে। পড়তে থাক।)

আচ্ছা নিচের ফাংশনটির ইনপুট কি কি হতে পারে?

এই ফাংশনে ইনপুট ধনাত্বক বা ঋনাত্বক হতে পারে। কিন্তু শুন্য হতে পারে না (  )। কারন শুন্য দিয়ে কোন কিছুকে ভাগ করলে কি হয় আমরা জানিনা। তাহলে বলা যায় এই ফাংশনের ডোমেইন হল শুন্য বাদে সকল বাস্তব সংখ্যা।

এবার একটু আউটপুট এর দিকে নজর দেই।

 এর আউটপুট কি কি হতে পারে। নিচের ইনপুট গুলোর জন্য আউটপুট কি কি আসছে খেয়াল কর। আর আউটপুটগুলোর একটা সাধারন মিল আছে সেটা কি ধরতে পার কিনা দেখ।

ধরতে পারলে মিলিয়ে নাও। সাধারন মিলটি হল আউটপুট গুলোর কোনটি ঋনাত্বক নয়। ধনাত্বক বা ঋনাত্বক যে সংখ্যাই ইনপুট দাওনা কেন আউটপুট সব সময় ধনাত্বক হচ্ছে। তাহলে বলা যায়, ফাংশনটির আউটপুট সব সময় ধনাত্বক হবে। তাই এর রেঞ্জ হল সব ধনাত্বক সংখ্যা।

আচ্ছা এখন যদি বলি এমন কোন ইনপুট নাম্বার আছে কি যার জন্য ফাংশনটির আউটপুট ঋনাত্বক হবে? ভাব কিছুক্ষন।

 বা   বা  

এগুলো ইনপুট হিসেবে নিলে আউটপুট ঋনাত্বক হবে। কিন্তু এগুলো কি বাস্তব সংখ্যার মত কোন সংখ্যা? না, বরং বাস্তব সংখ্যাগুলোকে একটু পরিবর্তন করে এই ইনপুটগুলো বনানো হয়েছে। এগুলোকেই বলা হয় অবাস্তব সংখ্যা। ইংরেজিতে বলা হয় ইমেজিনারি নাম্বার (Imaginary Number)।

সারমর্ম, ফাংশন হল যন্ত্রের মত যা কিছু ইনপুট নিয়ে সেটাকে প্রসেস করে আউটপুট দেয়। ইনপুটগুলোকে বলা হয় ডোমেইন আর আউটপুট গুলোকে বলা হয় রেঞ্জ।

ফাংশন লেখার রীতীনিতি

ফাংশনের একটি নাম থাকতে পারে।ইচ্ছামত নাম। যেমন , , , , , , , , ,  ইত্যাদি। তবে সবচেয়ে বেশি প্রচলিত নাম হল . আর ফাংশনে ইনপুট কি হবে সেটি ব্রাকেটি লেখা হয়। ফাংশনের ইঞ্জিন কিভাবে ইনপুট প্রসেস করবে সেটি সমান () চিহ্নের ডান পাশে লেখা হয়।

 বা   বা 

ইনপুট কিভাবে প্রসেস করবে সেটি জানা জরুরি না হলে শুধু ইনপুটসহ নামটি  লেখা হয়। যেমন  বা 

ডিফারেন্সিয়েশনের চেইন রুল | ক্যালকুলাস

ক্যালকুলাস এ ডিফারেন্সিয়েশনের একটি নিয়ম হল চেইন রুল। চেইন রুলের সাহায্যে কম্পজিট ফাংশনগুলোর ডিফারেন্সিয়েমন করা হয়।

ফাংশন অংশে কম্পজিট ফাংশন সম্পর্কে ধারনা হয়ে গেছে আ্শা করি। তারপরও একবার মনে করিয়ে দেই।

মনে কর,

এবং

দুটি সাধারন ফাংশন। প্রথম ফাংশনে এর ইনপুট  এবং আউটপুট  আর দ্বিতীয় ফাংশনের ইনপুট  এবং আউটপুট 

এখন যদি এমন হয় যে, দ্বিতীয় ফাংশনের আউটপুটাই হল প্রথম ফাংশনের ইনপুট।অর্থাত,

বা,

এটি হল কম্পজিট ফাংশন। অনেকগুলো ফাংশন এক সাথে করে কম্পজিট ফাংশন তৈরি করা হয়। একটা ফাংশনের আউটপুট আর একটি ফাংশনের ইনপুট।

এই ধরনের ফাংশনগুলো চেইন রুল অনুসরন করে করা হয়।

চেইন রুল

ধর,

এটি একটি সাধারণ ফাংশন যার ইনপুট আর আউটপুট । এখানে ইনপুট তাই এর ডিফারেন্সিয়েশন হবে এর সাপেক্ষে।

(ইনপুট এর পরিবর্তনের জন্য আউটপুট এর কত পরিবর্তন হবে এর ডিফারেন্সিয়েশন করলেই পাওয়া যাবে। )

যদি ফাংশনটি এমন হত,

তাহলে এর ডিফারেন্সিয়েশন হত এর সাপেক্ষে।

এক কথায় ইনপুট এর সাপেক্ষে আউটপুটের পরিবর্তন হবে।

তাহলে,

হয় তাহলে আমরা লিখতে পারি,

? এর স্থানে যা থাকবে তার সাপেক্ষেই ডিফারেন্সিয়েশন হবে।

কিন্তু যদি বলে x এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েশন করতে তখন?

তখন যতক্ষন না x এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েশন পাব ততক্ষন ডিফারেন্সিয়েশন করতেই থাকব আর ডিফারেন্সিয়েশনগুলো গুন করতে থাকব।

এটিই হল চেইন রুল। এখন এত বিস্তারিত বাদ দিয়ে লিখলে এমন হবে। ধরি, f, g, h তিনটি ফাংশন।